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Algebra, 2 ed
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Groups, Rings, and Fields
Series: Textbooks in Mathematics
Author: Rowen, Louis Halle (Bar-Ilan University, Israel) / Vishne, Uzi
Publisher: Taylor & Francis
ISBN: 9780367231767
Cover: HARDCOVER
Date: 2025年02月

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DESCRIPTION
Algebra is a subject we have become acquainted with during most of our mathematical education, often in connection with the solution of equations. Algebra: Groups, Rings, and Fields, Second Edition deals with developments related to their solutions.

The principle at the heart of abstract algebra, a subject that enables one to deduce sweeping conclusions from elementary premises, is that the process of abstraction enables us to solve a variety of such problems with economy of effort. This leads to the glorious world of mathematical discovery.

This second edition follows the original three-pronged approach: the theory of finite groups, number theory, and Galois’ amazing theory of field extensions tying solvability of equations to group theory.

As algebra has branched out in many directions, the authors strive to keep the text manageable while at the same time introducing the student to exciting new paths. In order to support this approach, the authors broadened the first edition, giving monoids a greater role, and relying more on matrices. Hundreds of new exercises were added.

A course in abstract algebra, properly presented, could treat mathematics as an art as well as a science. In this exposition, we try to present underlying ideas, as well as the results they yield.

TABLE OF CONTENTS
1 Monoids and Groups
2 Lagrange’s Theorem, Cosets, and an Application to Number Theory
3 Cauchy’s Theorem: Showing that a Number Is Greater Than 1
4 Structure of Groups: Homomorphisms, Isomorphisms, and Invariants
5 Normal Subgroups: The Building Blocks of the Structure Theory
6 Classifying Groups: Cyclic Groups and Direct Products
7 Finite Abelian Groups
8 Generators and Relations
9 When Is a Group a Group? (Cayley’s Theorem)
10 Conjugacy Classes and the Class Equation
11 Sylow Subgroups
12 Solvable Groups: What Could Be Simpler?
13 Groups of Matrices
14 An Introduction to Rings
15 The Structure Theory of Rings
16 The Field of Fractions: A Study in Generalization
17 Polynomials and Euclidean Domains
18 Principal Ideal Domains: Induction without Numbers
19 Roots of Polynomials
20 Applications: Famous Results from Number Theory
21 Irreducible Polynomials
22 Field Extensions: Creating Roots of Polynomials
23 The Geometric Problems of Antiquity
24 Adjoining Roots to Polynomials: Splitting Fields
25 Finite Fields
26 The Galois Correspondence
27 Applications of the Galois Correspondence
28 Solving Equations by Radicals
29 Integral Extensions
30 Group Representations and their Characters
31 Transcendental Numbers: e and π
32 Skew Field Theory
33 Where Do We Go From Here?
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